【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(1﹣ ).
(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≥0,對任意的x≥1均成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:( 1008

【答案】
(1)解:f(x)的定義域是(0,+∞),a=1時,f(x)=lnx+ ﹣1,

f′(x)= ,令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,

∴f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞);


(2)解:∵ln x﹣a(1﹣ )≥0,

∴l(xiāng)n x﹣a ≥0,

∴a(x﹣1)≤xlnx,

①當x=1時,上式成立;

②當x>1時,上式可化為a≤

令f(x)= ,則f′(x)=

令g(x)=x﹣lnx﹣1,則g′(x)=1﹣ >0,

故g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),

故g(x)>g(1)=1﹣0﹣1=0,

故f′(x)>0,

故f(x)= 在(1,+∞)上是增函數(shù),

f(x)= = =1,

故a≤1;

綜上所述,a≤1.


(3)證明:由(2)得a=1時,lnx﹣a(1﹣ )≥0對任意的x≥1均成立,

∴l(xiāng)nx>1﹣ ,(x>1),

取x=1+ ,則ln(1+ )>1﹣ ,

即ln

,

∴( 1008


【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)化簡可得a(x﹣1)≤xlnx,從而討論,當x>1時,化為a≤ ,從而令f(x)= ,從而化為函數(shù)的最值問題;(3)根據(jù)lnx>1﹣ ,(x>1),取x=1+ ,代入整理即可.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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③用相關指數(shù)來刻畫回歸效果, 越接近,說明模型的擬合效果越好;

④用系統(tǒng)抽樣法從名學生中抽取容量為的樣本,將名學生從編號,按編號順序平均分成組(號, 號, 號),若第組抽出的號碼為,則第一組中用抽簽法確定的號碼為號.

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t

男同學人數(shù)

7

11

15

12

2

1

女同學人數(shù)

8

9

17

13

3

2

若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”.

(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學生中“讀書迷”有多少人?

(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機抽取4位同學參加讀書日宣傳活動.

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