Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m≥1時，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），m＞0，

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：x＜ ，

∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增

（2）解：f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)，

即函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ x2﹣mlnx+（m+1）x的零點個數(shù)問題，

h′（x）=﹣ ，

令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，

∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，m）遞增，在（m，+∞）遞減，

∴h（x）極小值=h（1）=m+ ＞0，

∴h（x）和x軸有1個交點，

即函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)是1個

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ x2﹣mlnx+（m+1）x的零點個數(shù)問題，通過求導(dǎo)，得到函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即f（x）和g（x）的交點個數(shù)．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．