Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）可先證線(xiàn)線(xiàn)平行，然后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)面平行，也可先根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行證明面面平行，再根據(jù)面面平行證明線(xiàn)面平行；

（2）可利用傳統(tǒng)法，先找到線(xiàn)在直角三角形求線(xiàn)面角的正弦值，也可根據(jù)題中的線(xiàn)面位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解．

（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

又由是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

又由，且平面，所以平面平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面．

（2）取的中點(diǎn)，連接，由是等邊三角形，所以，

又，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，

所以，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

故，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，故為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．