Question

【題目】如圖，在四棱錐ABCD中，和都是等邊三角形，平面PAD平面ABCD，且，．

（1）求證：CDPA；

（2）E，F分別是棱PA，AD上的點，當平面BEF//平面PCD時，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知即可證得：，且，再利用是等邊三角形即可證得：，再利用面面垂直的性質即可證得：平面，問題得證.

（2）利用平面BEF//平面PCD可得：BF//CD，結合可得，即可求得：DF=，從而求得，利用（1）可得四棱錐的高，再利用錐體體積公式計算即可.

證明：（1）因為是等邊三角形，所以

又，，

所以，所以，且．

又是等邊三角形，所以，

所以．

又平面平面，平面平面，平面

所以平面．

所以CDPA．

（2）因為平面BEF//平面PCD，

所以BF//CD，EF//PD，又

所以．

又在直角三角形ABD中，DF=，

所以．

所以．

由（1）知平面，故四棱錐的體積．