Question

已知，函數(shù)
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(1，)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在上至少存在一個實數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ） 函數(shù)在點(1，)的切線方程為 
（Ⅱ）   時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是       
（Ⅲ）（，）

本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。（1）中，那么當(dāng)時， 又   所以函數(shù)在點(1，)的切線方程為；（2）中令  有 
對a分類討論，和得到極值。（3）中，設(shè)，，依題意，只需那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵ ∴
∴ 當(dāng)時， 又   
∴ 函數(shù)在點(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令  有 
①        當(dāng)即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是
②        當(dāng)即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 
綜上所述  時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是        ----------8分
（Ⅲ）設(shè)，
對求導(dǎo)，得
∵，    
∴在區(qū)間上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即 
解得 或（舍去）
則正實數(shù)的取值范圍是（，）