Question

設函數f（x）的定義域為D，若對于任意的x₁∈D，存在唯一x₂∈D的使

f(x1)+f(x2)

2

=C（C為常數），則稱函數f（x）在D上的均值為C．給出下列四個函數：①y=x²；②y=x；③y=2^x；④y=lgx；則滿足其在定義域上均值為2的所有函數是

 

（填寫序號）．

Answer 1

分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函數．
對于函數①y=x²，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出兩個的 x2=±

4- x 2 1

，即可得到成立．故①錯；
對于函數②y=x，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然成立．
對于函數④y=2^x，特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：對于函數①y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=2，x2=±

4- x 1 2

，可以兩個的x₂∈D．故不滿足條件．
對于函數②y=x，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數③y=2^x定義域為R，值域為y＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
對于函數④y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
故答案為②④

點評：此題主要應用新定義的方式考查平均值不等式在函數中的應用．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．