【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E :的焦距為4,兩條準(zhǔn)線間的距離為8,A,B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形,且BC=4,點(diǎn)M,N分別在邊BC,CD上,AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P .①若M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),證明:點(diǎn)P在橢圓E上;②若點(diǎn)P在橢圓E上,證明:為定值,并求出該定值.
【答案】(1) ;(2)①證明見解析;②證明見解析
【解析】
(1)由求得,進(jìn)而求得橢圓的方程;
(2)①分別求得,坐標(biāo),再求得直線與直線方程,即可求得交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得證;②分別設(shè)直線的方程為,直線的方程為,求得點(diǎn),坐標(biāo),則,利用斜率公式求證即可
(1)由題,,則,所以,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(2)證明:①由(1)可得,,
因?yàn)?/span>,且四邊形是矩形,
所以,,
因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn),
所以,,
則直線為:,即,
直線為:,即,
所以,解得,即
因?yàn)?/span>,
所以點(diǎn)在橢圓上
②設(shè)直線的方程為,
令,得,
設(shè)直線的方程為,
令,得,
,
設(shè),則,
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),線段、分別和圓交于、兩點(diǎn),設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,若本次考試成績(jī)90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.
(1)證明:AD⊥BA1;
(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京聯(lián)合張家口獲得2022年第24屆冬奧會(huì)舉辦權(quán),我國(guó)各地掀起了發(fā)展冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮,現(xiàn)對(duì)某高中的學(xué)生對(duì)于冰雪運(yùn)動(dòng)是否感興趣進(jìn)行調(diào)查,該高中男生人數(shù)是女生的1.2倍,按照分層抽樣的方法,從中抽取110人,調(diào)查高中生“是否對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)感興趣”得到如下列聯(lián)表:
感興趣 | 不感興趣 | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計(jì) | 110 |
(1)補(bǔ)充完成上述列聯(lián)表;
(2)是否有99%的把握認(rèn)為是否喜愛冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).
附: (其中).
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的函數(shù),滿足.
(1)證明:2是函數(shù)的周期;
(2)當(dāng)時(shí),,求在時(shí)的解析式,并寫出在()時(shí)的解析式;
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù),若關(guān)于x的方程恰好有20個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,平面平面,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)F為拋物線C:()的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí),.
(1)求拋物線C的方程.
(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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