【題目】已知函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a,)在點處的切線方程是.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)函數(shù),若在上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).
【解析】
(1)求出.由題意求出,,即可求出,,代入,即可求出的單調(diào)區(qū)間;
(2)由(1)知.解法1:要使在上恒成立,只需即可,利用導(dǎo)數(shù)求;解法2:要使在上恒成立,等價于在上恒成立.令,則只需即可,利用導(dǎo)數(shù)求;解法3:要使在上恒成立,等價于在上恒成立. 先證明,可得當(dāng)時,有,可得,即求實數(shù)m的取值范圍.
(1)對函數(shù)求導(dǎo)得,
由條件可知,,解得,,
所以.
.令得,
于是,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)知.
解法1:要使在上恒成立,只需即可.
因為,,
所以在上單調(diào)遞增.
因為當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以,在上存在唯一的零點,滿足,
所以,
且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
于是
由得,此時必有,,
兩邊同時取自然對數(shù),則有,即.
構(gòu)造函數(shù)(),則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以,即.
故,于是實數(shù)m的取值范圍是.
解法2:要使在上恒成立,等價于在上恒成立.
令(),則只需即可.
,令(),則,
所以在上單調(diào)遞增,又,,
所以有唯一的零點,且,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因為,兩邊同時取自然對數(shù),則有,
即.
構(gòu)造函數(shù)(),則,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,
所以,即.
所以.
于是實數(shù)m的取值范圍是
解法3:要使在上恒成立,
等價于在上恒成立.
先證明,令(),則,于是,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)
所以,當(dāng)時,有,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,于是實數(shù)m的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動,按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
區(qū)間 | |||||
人數(shù) | 50 | 50 | a | 150 | b |
(1)上表是年齡的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少?
(3)在(2)的前提下,從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動,求至少有1人年齡在第3組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),證明:當(dāng)時,函數(shù)沒有極值點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召,某貧困縣在精準推進上下功夫,在精準扶貧上見實效.根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂蛱攸c大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位:個)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位:℃)有關(guān),于是科研人員在3月份的31天中隨機選取了5天進行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的5組觀察數(shù)據(jù)如表:
日期 | 2日 | 7日 | 15日 | 22日 | 30日 |
溫度/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
產(chǎn)卵數(shù)y/個 | 22 | 24 | 29 | 25 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記這2天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為m,n,求“事件m,n均不小于24”的概率?
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
①若選取的是3月2日與3月30日這2組數(shù)據(jù),請根據(jù)3月7日、15日和22日這三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程?
②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過2個,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
附公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】千百年來,我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗,并將這些經(jīng)驗編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣,得到如下列聯(lián)表:
夜晚天氣 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出現(xiàn) | 25 | 5 |
未出現(xiàn) | 25 | 45 |
臨界值表 | ||||
P() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并計算得到,下列小波對地區(qū)A天氣判斷不正確的是( )
A.夜晚下雨的概率約為
B.未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C.有的把握認為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)
D.出現(xiàn)“日落云里走”,有的把握認為夜晚會下雨
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,,,已知,分別是,的中點,將沿折起,使到的位置如圖所示,且,連接,.
(1)求證:平面平面.
(2)求平面與平面所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上是增函數(shù),且在上也是增函數(shù),則稱是上的“完美增函數(shù)”.已知,.
(1)判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“完美增函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是區(qū)間上的“完美增函數(shù)”,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為,直線:,直線:.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系.
(1)求直線,的直角坐標方程以及曲線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,兩點,直線與曲線C交于,兩點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱錐中, 互相垂直, , 是線段上一動點,若直線與平面所成角的正切的最大值是,則三棱錐的外接球的表面積是( 。
A. B. C. D.
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