Question

【題目】如圖，橢圓的離心率，且橢圓C的短軸長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓上的三個(gè)動點(diǎn).

（i）若直線過點(diǎn)D，且點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，求面積的最大值；

（ii）試探究：是否存在是以為中心的等邊三角形，若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程是

面積的最大值為

不存在是以為中心的等邊三角形.

【解析】

利用離心率以及短軸長,求出橢圓中.即可求橢圓的方程;

由已知,直線的斜率存在,設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,弦長公式,推出面積的表達(dá)式,通過換元,利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.

假設(shè)存在是以為中心的等邊三角形.

當(dāng)在軸上時(shí),推出與為等邊三角形矛盾.

當(dāng)在軸上時(shí),推出與為等邊三角形矛盾.

當(dāng)不在坐標(biāo)軸時(shí)，推出與為等邊三角形矛盾.故得解.

（1）由已知得 ，解得 ，

所以橢圓的方程是

由已知可知直線的斜率定存在，設(shè)直線的方程為，

，

由 得，所以

所以，

又，所以，

令，

所以，

令，則

所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，有最小值此時(shí)有最大值.

故得解.

不存在是以為中心的等邊三角形.理由如下：

假設(shè)存在是以為中心的等邊三角形.

當(dāng)在軸上時(shí),的坐標(biāo)為,則關(guān)于軸對稱,的中點(diǎn)在軸上.

又為的中心,所以,可知,

從而,即.

所以與為等邊三角形矛盾.

當(dāng)在軸上時(shí),的坐標(biāo)為,則關(guān)于軸對稱,的中點(diǎn)在軸上.

又為的中心,所以,可知,

從而,即.

所以與為等邊三角形矛盾.

當(dāng)不在坐標(biāo)軸時(shí),設(shè),的中點(diǎn)為,則,

又為的中心,則,可知.

設(shè),則,

又,兩式相減得,

從而，

所以,

所以與不垂直,與等邊矛盾.

綜上所述,不存在是以為中心的等邊三角形.