(本小題滿分16分)如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為.
①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長;
②設(shè)與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.
(1) (2) ①②見解析
解析試題分析:(1)由,解得,故所求橢圓的方程為…………………4分
(2)①因為,所以直線的方程為,則點P的坐標為,
從而的方程為,即其圓心為,半徑為………… 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為 ………8分
從而截直線所得的弦長為……………10分
②證:設(shè),則直線的方程為,則點P的坐標為,
又直線的斜率為,而,所以,
從而直線的方程為……………………………13分
令,得點R的橫坐標為………………………14分
又點M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為……………………16分
考點:橢圓性質(zhì),直線與圓橢圓的位置關(guān)系
點評:本題計算量大,對學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力要求較高
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知點分別為橢圓的左、右焦點,點為橢圓上任意一點,到焦點的距離的最大值為.
(1)求橢圓的方程。
(2)點的坐標為,過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點。對于任意的是否為定值?若是求出這個定值;若不是說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率,過的直線到原點的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線交雙曲線于不同的點C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓過橢圓的兩焦點,與橢圓有且僅有兩個與圓相切 ,與橢圓相交于兩點記
(1)求橢圓的方程
(2)求的取值范圍;
(3)求的面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知橢圓的中心在原點,焦點,在軸上,經(jīng)過點,,且拋物線的焦點為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點,當以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程和圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
解答題(本題共10分.請寫出文字說明, 證明過程或演算步驟):
已知是橢圓上一點,,是橢圓的兩焦點,且滿足
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)、是橢圓上任兩點,且直線、的斜率分別為、,若存在常數(shù)使,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)拋物線的頂點在坐標原點,焦點在軸的負半軸上,過點作直線與拋物線交于A,B兩點,且滿足,
(1)求拋物線的方程
(2)當拋物線上的一動點P從A運動到B時,求面積的的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點,
①求此雙曲線的方程.
②若拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的焦距,求該拋物線方程.
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