【題目】四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為的中點(diǎn),平面,與平面所成的角的正弦值為.
(1)在棱上求一點(diǎn),使平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)分別取PD,PC的中點(diǎn)F,G,由三角形中位線定理及平行公理可得四邊形AEGF為平行四邊形,得AF∥EG,由線面平行的判定可得AF∥平面PEC,則PD的中點(diǎn)F即為所求;
(2)由已知可得∠CPE即為PC與平面PAB所成的角,求解直角三角形得到PA=2,過D作BA的延長(zhǎng)線的垂線,垂足為H,過H作PE的垂線,垂足為K,連接KD,可得∠DKH即為所求的二面角的平面角,然后求解直角三角形得答案.
(1)分別取PD,PC的中點(diǎn)F,G,則FG∥CD∥AB,,
∴四邊形AEGF為平行四邊形,則AF∥EG,又FG平面PEC,
∴AF∥平面PEC,
∴PD的中點(diǎn)F即為所求;
(2)由PA⊥平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD,
∵E為AB中點(diǎn),且BC=2BE=2,∠CBE=60°,∴CE⊥AB.
∴∠CPE即為PC與平面PAB所成的角,
在Rt△PEC中,,即,
解得:PA=2,
過D作BA的垂線,垂足為H,過H作PE的垂線,垂足為K,連接KD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DH,
又DH⊥BA,∴DH⊥平面PBA,
∴DH⊥PE,則PE⊥平面DHK,得PE⊥DH,
∴∠DKH即為所求的二面角的平面角,
在Rt△DHK中,,
由于PEHK=EHPA,∴,
從而,
∴,
即二面角D﹣PE﹣A的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足, ,其中,則稱為的“陪伴數(shù)列”.
(Ⅰ)寫出數(shù)列的“陪伴數(shù)列”;
(Ⅱ)若的“陪伴數(shù)列”是.試證明: 成等差數(shù)列.
(Ⅲ)若為偶數(shù),且的“陪伴數(shù)列”是,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1(-2,0)和F2(2,0)的距離之和為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡C的方程;
(2)設(shè)N(0,2),過點(diǎn)P(-1,-2)作直線l,交橢圓C于不同于N的A,B兩點(diǎn),直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,問k1+k2是否為定值?若是的求出這個(gè)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)圖像在處的切線方程;
(2)證明:;
(3)若不等式對(duì)于任意的均成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1, ,其中n∈N*.
(1)設(shè),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè),數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得對(duì)于n∈N*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請(qǐng)說明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程是: ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線交于, 兩點(diǎn),且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別 ,過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),滿足.
(1)求橢圓的離心率.
(2)是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(異于橢圓的頂點(diǎn)),直線分別與軸相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足,,其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若(是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若(為常數(shù),),(,),對(duì)任意,,求出數(shù)列的最大項(xiàng)(用含式子表達(dá)).
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