【題目】已知橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得:,解得a,b,c值,可得橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A,B,將直線l 的方程代入,利用韋達(dá)定理,及向量垂直的充要條件,可求出滿足條件的k值
試題解析:(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得:,
解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1,
故所求橢圓C的方程為+x2=1.
(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
理由如下:
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線l 的方程y=kx+代入+x2=1,
并整理,得(k2+4)x2+2 kx﹣1=0.(*)
則x1+x2=﹣,x1x2=﹣.
因?yàn)橐跃段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,
所以=0,即x1x2+y1y2=0.
又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,
于是﹣﹣+3=0,解得k=±,
經(jīng)檢驗(yàn)知:此時(shí)(*)式的△>0,符合題意.
所以當(dāng)k=±時(shí),以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)如圖,點(diǎn)A,B是單位圓上的兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別在第一、二象限,點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn),△AOB是正三角形,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),記∠COA=α.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求cos∠COB的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C: ,直線l:
(Ⅰ)求直線l所過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值及最短弦長(zhǎng);
(Ⅲ)已知點(diǎn),在直線MC上(C為圓心),存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M),滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為方便市民休閑觀光,市政府計(jì)劃在半徑為200,圓心角為的扇形廣場(chǎng)內(nèi)(如圖所示),沿△邊界修建觀光道路,其中、分別在線段、上,且、兩點(diǎn)間距離為定長(zhǎng).
(1)當(dāng)時(shí),求觀光道段的長(zhǎng)度;
(2)為提高觀光效果,應(yīng)盡量增加觀光道路總長(zhǎng)度,試確定圖中、兩點(diǎn)的位置,使觀光道路總長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng)?并求出總長(zhǎng)度的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某企業(yè)的兩座建筑物AB,CD的高度分別為20m和40m,其底部BD之間距離為20m.為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市號(hào)召,進(jìn)行亮化改造,現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備,投影到建筑物CD上形成投影幕墻,既達(dá)到亮化目的又可以進(jìn)行廣告宣傳.已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為,投影幕墻的高度EF越小,投影的圖像越清晰.設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α,幕墻的高度EF為y(m).
(1)求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)當(dāng)投影的圖像最清晰時(shí),求幕墻EF的高度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓N經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,1),B(﹣1,3),且它的圓心在直線3x﹣y﹣2=0上.
(1)求圓N的方程;
(2)若點(diǎn)D為圓N上任意一點(diǎn),且點(diǎn)C(3,0),求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從中這個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)組成遞增等差數(shù)列,所有可能的遞增等差數(shù)列這個(gè)數(shù)記為.
(1)當(dāng)時(shí),寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及的值;
(2)求;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,△PAB是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面PAB⊥平面ABCD,PA=2,PC=4.
(Ⅰ)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)F在線段PA上,且FA=λPA,當(dāng)三棱錐B﹣AFD的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)λ的值.
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