【題目】已知圓C ,直線l

(Ⅰ)求直線l所過定點A的坐標;

(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長;

(Ⅲ)已知點,在直線MC上(C為圓心),存在定點N(異于點M),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù)。

【答案】(1)直線過定點(2)(3)

【解析】試題分析:(1)將直線中m合并到一起,然后令系數(shù)及剩余都為0即可得定點(2)直線l被圓C所截得的弦長最短時即當時(3)由題知,直線的方程為,假設存在定點滿足題意,則設, ,得 ,且再根據圓系方程可得對任意恒成立, 即可求出結論

試題解析:

解:(Ⅰ)依題意得,

,得

直線過定點

時,所截得弦長最短,由題知,

,得,

圓心到直線的距離為

最短弦長為

Ⅲ)法一:由題知,直線的方程為,假設存在定點滿足題意,

則設, ,得 ,且

整理得,

上式對任意恒成立,

解得(舍去,與重合)

綜上可知,在直線上存在定點,使得為常數(shù)

法二:設直線上的點

取直線與圓的交點,則

取直線與圓的交點,則

,解得(舍去,與重合),此時

若存在這樣的定點滿足題意,則必為

下證:點滿足題意,

設圓上任意一點,則

綜上可知,在直線上存在定點,使得為常數(shù)

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