【題目】如圖, 是邊長為 的正方形, 平面 , , , 與平面 所成角為 .
(Ⅰ)求證: 平面 .
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
(Ⅲ)設(shè)點 是線段 上一個動點,試確定點 的位置,使得 平面 ,并證明你的結(jié)論.
【答案】解:(Ⅰ)證明:∵ 平面 , 平面 ,
∴ ,
又∵ 是正方形,
∴ ,
∵ ,
∴ 平面 .
(Ⅱ)解:∵ , , 兩兩垂直,所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系 ,
∵ 與平面 所成角為 ,即 ,
∴ ,
由 ,可知: , .
則 , , , , ,
∴ , ,
設(shè)平面 的法向量為 ,則
,即 ,
令 ,則 .
因為 平面 ,所以 為平面 的法向量,
∴ ,
所以 .
因為二面角為銳角,
故二面角 的余弦值為 .
(Ⅲ)解:依題意得,設(shè) ,
則 ,
∵ 平面 ,
∴ ,即 ,解得: ,
∴點 的坐標(biāo)為 ,
此時 ,
∴點 是線段 靠近 點的三等分點.
【解析】(1)證明線面垂直的要點就是在平面內(nèi)找互兩條相交直線都與所證直線垂直。
(2)求二面角時,往往建立空間直角坐標(biāo)系用兩個平面的法向量的夾角來求。
(3)要確定點 M 的位置,使得 AM∥平面BEF,可先設(shè)點M的坐標(biāo),則向量AM與平面的法向量垂直即可。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)在第(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知非空集合A、B滿足以下四個條件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};②A∩B=;③A中的元素個數(shù)不是A中的元素;④B中的元素個數(shù)不是B中的元素.
若集合A含有2個元素,則滿足條件的A有個.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)過拋物線 的焦點 的直線 交拋物線于點 ,若以 為直徑的圓過點 ,且與 軸交于 , 兩點,則 ( )
A.3
B.2
C.-3
D.-2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ,橢圓 過點 ,直線 交 軸于 ,且 , 為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè) 是橢圓 的上頂點,過點 分別作直線 交橢圓 于 兩點,設(shè)這兩條直線的斜率分別為 ,且 ,證明:直線 過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,按其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖中的信息,回答下列問題:
(Ⅰ)補全頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計本次考試的數(shù)學(xué)平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅲ)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學(xué)生成績中抽取一個容量為6的樣本,再從這6個樣本中任取2人成績,求至多有1人成績在分數(shù)段[120,130)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)滿足且.
(1)求證,并求的取值范圍;
(2)證明函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點;
(3)設(shè)是函數(shù)的兩個零點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.已知方程組
(1)求方程組只有一個解的概率;
(2)若方程組每個解對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系中的點P(x,y),求點P落在第四象限的概率.
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