【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣kx,x∈R(e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若k∈R,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k>0,討論函數(shù)f(x)在(﹣∞,4]上的零點個數(shù).

【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣kx,x∈R,得f'(x)=ex﹣k,

①當(dāng)k≤0時,則f'(x)=ex﹣k>0對x∈R恒成立,

此時f(x)的單調(diào)遞增,遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞);

②當(dāng)k>0時,

由f'(x)=ex﹣k>0,得到x>lnk,

由f'(x)=ex﹣k<0,得到x<lnk,

所以,k>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(lnk,+∞);遞減區(qū)間是(﹣∞,lnk);

綜上,當(dāng)k≤0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞)


(2)解:當(dāng)k>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(lnk,+∞);遞減區(qū)間是(﹣∞,lnk),

當(dāng)k>0時,令f'(x)=ex﹣k=0,

得x=lnk,且f(x)在(﹣∞,lnk)上單調(diào)遞減,在(lnk,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)在x=lnk時取得極小值,

即f(x)在(﹣∞,4]上最多存在兩個零點.

(。┤艉瘮(shù)f(x)在(﹣∞,4]上有2個零點,

,

解得k∈(e, ];

(ⅱ)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,4]上有1個零點,

則f(4)<0或

解得k∈( ,+∞)或k=e;

(ⅲ)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,4]上沒有零點,

或f(lnk)=k(1﹣lnk)>0,

解得k∈(0,e).

綜上所述,當(dāng)k∈(e, ]時,f(x)在(﹣∞,4]上有2個零點;

當(dāng)k∈( ,+∞)∪(﹣∞,0)或k=e時,f(x)在(﹣∞,4]上有1個零點;

當(dāng)k∈[0,e)時,f(x)在(﹣∞,4]上無零點.


【解析】(1)由已知中函數(shù)的解析式,求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,對k進(jìn)行分類討論,確定x在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號,進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)根據(jù)(1)中函數(shù)的單調(diào)性k>0時,討論k取不同值時函數(shù)零點個數(shù),最后綜合討論結(jié)果,可得答案
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

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