Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明：在上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，函數(shù)，如果總存在，對(duì)任意，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)定義任取,,且,利用作差,變形后即可判斷符號(hào),即可證明函數(shù)的單調(diào)性.

（2）根據(jù)定義可判斷和的奇偶性.由不等式在區(qū)間上的恒成立,可知存在,對(duì)任意都有.根據(jù)解析式及單調(diào)性,分別求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用換元法,構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)形式,即可解不等式求得的取值范圍.

（1）證明：任取,,且,則

因?yàn)?/span>,,所以,,,

所以,即當(dāng)時(shí),總有,所以在上單調(diào)遞增.

（2）由,

得是上的偶函數(shù),同理,也是上的偶函數(shù).

總存在,對(duì)任意都有,即函數(shù)在上的最大值不小于,的最大值.

由（1）知在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),的最大值為,

.

因?yàn)?/span>,,所以當(dāng)時(shí),的最大值為.

所以.

令,則,

令,

易知在上單調(diào)遞增,又,所以,即,

所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.