【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)對(duì)任意的x∈R成立,則稱函數(shù)f(x)是Ω函數(shù). (Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函數(shù);(只需寫出結(jié)論)
(Ⅱ)說(shuō)明:請(qǐng)?jiān)冢╥)、(ii)問(wèn)中選擇一問(wèn)解答即可,兩問(wèn)都作答的按選擇(i)計(jì)分
(i)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(ii)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是奇函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(Ⅲ)求證:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax一定是Ω函數(shù).
【答案】解:(Ⅰ)①對(duì)于函數(shù)f(x)=x是Ω函數(shù),假設(shè)存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),則T(x+T)=x,取x=0時(shí),則T=0,與T≠0矛盾,因此假設(shè)不成立,即函數(shù)f(x)=x不是Ω函數(shù). ②對(duì)于g(x)=sinπx是Ω函數(shù),令T=﹣1,則sin(πx﹣π)=﹣sin(π﹣πx)=﹣sinπx.即﹣sin(π(x﹣1))=sinπx.
∴Tsin(πx+πT)=sinπx成立,即函數(shù)f(x)=sinπx對(duì)任意x∈R,有Tf(x+T)=f(x)成立.
(Ⅱ)(i)證明:∵函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),∴存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),Tf(﹣x+T)=f(﹣x).
又f(x)是偶函數(shù),∴f(﹣x)=f(x),∴Tf(﹣x+T)=Tf(x+T),T≠0,化為:f(x+T)=f(﹣x+T),
令x﹣T=t,則x=T+t,∴f(2T+t)=f(﹣t)=f(t),可得:f(2T+t)=f(t),因此函數(shù)f(x)是周期為2T的周期函數(shù).
(ii)證明:∵函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),∴存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),Tf(﹣x+T)=f(﹣x).
又f(x)是奇函數(shù),∴f(﹣x)=﹣f(x),∴﹣Tf(x+T)=Tf(﹣x+T),T≠0,化為:﹣f(x+T)=f(﹣x+T),
令x﹣T=t,則x=T+t,∴﹣f(2T+t)=f(﹣t)=﹣f(t),可得:f(2T+t)=f(t),因此函數(shù)f(x)是周期為2T的周期函數(shù).
(III)證明:當(dāng)a>1時(shí),假設(shè)函數(shù)f(x)=ax是Ω函數(shù),則存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),
∴Tax+T=ax , 化為:TaTax=ax , ∵ax>0,∴TaT=1,即aT= ,此方程有非0 的實(shí)數(shù)根,因此T≠0且存在,
∴當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax一定是Ω函數(shù).
【解析】(Ⅰ)①利用Ω對(duì)于即可判斷出函數(shù)f(x)=x不是Ω函數(shù).②對(duì)于g(x)=sinπx是Ω函數(shù),令T=﹣1,對(duì)任意x∈R,有Tf(x+T)=f(x)成立.(Ⅱ)(i)函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),可得存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),Tf(﹣x+T)=f(﹣x).又f(x)是偶函數(shù),可得Tf(﹣x+T)=Tf(x+T),T≠0,化為:f(x+T)=f(﹣x+T),通過(guò)換元進(jìn)而得出:f(2T+t)=f(t),因此函數(shù)f(x)是周期為2T的周期函數(shù).(ii)同(i)可以證明.(III)當(dāng)a>1時(shí),假設(shè)函數(shù)f(x)=ax是Ω函數(shù),則存在非零常數(shù)T,Tf(x+T)=f(x),可得Tax+T=ax , 化為:TaT=1,即aT= ,此方程有非0 的實(shí)數(shù)根,即可證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,試討論關(guān)于的方程 的解的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的離心率為,其左頂點(diǎn)在圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.
(ⅰ)當(dāng)時(shí),求直線的斜率;
(ⅱ)是否存在直線,使?若存在,求出直線的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x
(1)當(dāng)a= 時(shí),滿足不等式f(x)>1的x的取值范圍為;若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣ ,0),B( ,0),銳角α的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P. (Ⅰ)用α的三角函數(shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng) =﹣ 時(shí),求α的值;
(Ⅲ)在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|logax|(0<a<1)的定義域?yàn)閇m,n](m<n),值域?yàn)閇0,1],若n﹣m的最小值為 ,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.
B. 或
C.
D. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,點(diǎn)E、F、G分別是棱SA、SB、SC的中點(diǎn).求證:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥平面SAB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R).
(1)證明:不論m取什么數(shù),直線l與圓C恒交于兩點(diǎn);
(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度,并求此時(shí)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 過(guò)點(diǎn),且離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn),求的取值范圍.
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