【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD,側面PAD是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M為PC的中點.
(Ⅰ) 求證:PC⊥AD;
(Ⅱ) 在棱PB上是否存在一點Q,使得A,Q,M,D四點共面?若存在,指出點Q的位置并證明;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ) 求點D到平面PAM的距離.
【答案】Ⅰ)證法一:取AD中點O,連結OP,OC,AC,
依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,
所以OC⊥AD,OP⊥AD,又OC∩OP=O,OC平面POC,OP平面POC,
所以AD⊥平面POC,又PC平面POC,
所以PC⊥AD.
證法二:連結AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,
又M為PC的中點,所以AM⊥PC,DM⊥PC,
又AM∩DM=M,AM平面AMD,DM平面AMD,
所以PC⊥平面AMD,
又AD平面AMD,所以PC⊥AD.(Ⅱ)解:當點Q為棱PB的中點時,A,Q,M,D四點共面,
證明如下:
取棱PB的中點Q,連結QM,QA,又M為PC的中點,所以QM∥BC,
在菱形ABCD中AD∥BC,所以QM∥AD,
所以A,Q,M,D四點共面.
(Ⅲ)解:點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離,
由(Ⅰ)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P﹣ACD的體高.
在Rt△POC中, , ,
在△PAC中,PA=AC=2, ,邊PC上的高AM= ,
所以△PAC的面積 ,
設點D到平面PAC的距離為h,
由VD﹣PAC=VP﹣ACD得
,
又 ,
所以 ,
解得 ,
所以點D到平面PAM的距離為 .
【解析】(Ⅰ)法一:取AD中點O,連結OP,OC,AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,從而AD⊥平面POC,由此能證明PC⊥AD.
法二:連結AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,從而AM⊥PC,DM⊥PC,由此能證明PC⊥AD.(Ⅱ)當點Q為棱PB的中點時,A,Q,M,D四點共面.取棱PB的中點Q,連結QM,QA,由已知得QM∥BC,由此能證明A,Q,M,D四點共面.(Ⅲ)點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離,由已知得得PO為三棱錐P﹣ACD的體高,由VD﹣PAC=VP﹣ACD , 能求出點D到平面PAM的距離.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點,需要掌握相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內,沒有公共點才能正確解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設向量 =( sinx,sinx), =(cosx,sinx),x∈[0, ].
(1)若| |=| |,求x的值;
(2)設函數f(x)= ,求f(x)的最大值及單調遞增區(qū)間.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位:輛);
轎車A | 轎車B | 轎車C | |
舒適型 | 100 | 150 | z |
標準型 | 300 | 450 | 600 |
按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1)求z的值;
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體,從中任取一個數,求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.
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【題目】已知函數f(t)= ,g(x)=cosxf(sinx)﹣sinxf(cosx),x∈(π, ).
(1)求函數g(x)的值域;
(2)若函數y=|cos(ωx+ )|f(sin(ωx+ ))(ω>0)在區(qū)間[ ,π]上為增函數,求實數ω的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱柱中,側棱底面, , 為的中點, ,四棱錐的體積為.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
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【題目】已知函數f(x)=x2﹣x﹣ (x<0),g(x)=x2+bx﹣2(x>0),b∈R,若f(x)圖象上存在A,B兩個不同的點與g(x)圖象上A′,B′兩點關于y軸對稱,則b的取值范圍為( )
A.(﹣4 ﹣5,+∞)
B.(4 ﹣5,+∞)
C.(﹣4 ﹣5,1)
D.(4 ﹣5,1)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)= (x>0).
(1)試判斷函數f(x)在(0,+∞)上單調性并證明你的結論;
(2)若f(x)> 恒成立,求整數k的最大值;
(3)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
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