Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足；

(1)若，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)在(1)的條件下，對(duì)于正整數(shù)，若這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組；

(3)若是的前項(xiàng)和，求不超過(guò)的最大整數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；（3）2016

【解析】

(1)結(jié)合的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行恒等變形，這樣就能證明出數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)根據(jù)(1)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差中項(xiàng)的概念分類討論最后得到答案；

(3)根據(jù)已知求出的表達(dá)式，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求出不超過(guò)的最大整數(shù).

(1)由，∴，

即，又，∴數(shù)列是以1 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

(2)由(1)知這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列；

①若，則，∴，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，∴等式不成立；

③若，同理也不成立；綜合①②③得，；

(3)由，∴，∴；

由

；

∴.

∴不超過(guò)的最大整數(shù)為2016