Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，其圖象與軸交于， 兩點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）證明： （為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1） 當(dāng)時(shí)， 為上的單調(diào)函數(shù)與軸交點(diǎn)只有一個(gè)或零個(gè)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性， 有極小值點(diǎn)，只要保證的極小值小于零，則會(huì)滿足題意.（2）注意到為單調(diào)增函數(shù)，若能證明 且 必有

試題解析：（Ⅰ） ．

若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．所以，令，則．

當(dāng)時(shí)， ， 是單調(diào)減函數(shù)； 時(shí)， ， 是單調(diào)增函數(shù)；

于是當(dāng)時(shí)， 取得極小值．

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)， (x1＜x2)，

所以，即．

此時(shí)，存在；（或?qū)ふ襢（0））

存在，

又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍．

（Ⅱ）因?yàn)?/span> 兩式相減得．

記，則，

設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，

則有，而，所以．

又是單調(diào)增函數(shù)，且，

所以．