Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥1時，f（x）≤ 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解： f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ，

若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

若a＞0，則由f′（x）=0，得x= ，

當(dāng)x∈（0， ）時，f′（x）＞0，

當(dāng)x∈（ ）時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）單調(diào)遞減．

所以當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時，f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）單調(diào)遞減．

（2）

解：f（x）﹣ = ，

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，

，

①若a≤0，F(xiàn)′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）遞增，

g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，

從而f（x）﹣ 不符合題意．

②若0＜a＜ ，當(dāng)x∈（1， ），F(xiàn)′（x）＞0，

∴g′（x）在（1， ）遞增，

從而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，

∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，

從而f（x）﹣ 不符合題意．

③若a ，F(xiàn)′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）遞減，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，

從而g9x）在[1，+∞）遞減，

∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣ ≤0，

綜上所述，a的取值范圍是[ ）．

【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；若a＞0時，f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）單調(diào)遞減．（2）f（x）﹣ = ，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax， ，由此進(jìn)行分類討論，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．