Question

設(shè)常數(shù)a＞0，對x₁，x₂∈R，P（x，y）是平面上任意一點，定義運(yùn)算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，．
（1）若x≥0，求動點的軌跡C；
（2）計算d₁（P）和d₂（P），并說明其幾何意義；
（3）在（1）中的軌跡C中，是否存在兩點A₁，A₂，使之滿足且？若存在，求出a的取值范圍，并請求出d₁（A₁）+d₁（A₂）的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由新定義運(yùn)算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，化簡即可求得；（2）利用新定義運(yùn)算進(jìn)行化簡，借助于函數(shù)關(guān)系說明其幾何意義；（3）把探索型命題轉(zhuǎn)化為封閉型命題求解．
解答：解：（1）由y=，
可知：y²=4ax（x≥0，y≥0），所以軌跡C為拋物線y²=4ax（x≥0，y≥0）在第一象限內(nèi)的部分（包括原點）；
（2）d₁（P）===，
d₂（P）==|x-a|，
分別表示P點到原點和到直線x=a的距離；
（3）設(shè)若存在為A₁（x₁，y₁）A₂（x₂，y₂），則由d₁（A₁）=）且d₁（A₂）=）
得，即，
所以x₁、x₂是方程（a-1）x²-（4a+2a²）x+a³=0的兩個根．…2分
要使A₁，A₂存在，必須
，所以必須a＞1
當(dāng)a＞1時，由于（x₁-a）（x₂-a）=x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²==
 
=＜0，即x₁-a與x₂-a異號．
所以d₁（A₁）+d₁（A₂）=-a|）=-a）|=
=．…2分
點評：本題是新定義運(yùn)算題，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算，并進(jìn)行化簡．探索型問題通常是假設(shè)存在轉(zhuǎn)化為封閉型命題解決．