Question

已知平面內兩定點F1(0，-

5

)、F2(0，

5

)，動點P滿足條件：|

PF1

|-|

PF2

|=4，設點P的軌跡是曲線E，O為坐標原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求

OQ

•

OR

的取值范圍；
（III）（文科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，記x_A、x_B分別為A、B兩點的橫坐標，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，可知動點P的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線的上半支，其中c=

5

，2a=4，由此能求出曲線E的方程．
（II）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），由

y2 4 -x2=1 y=k(x+1)

，得(1-

4

k2

)y2+

8

k

y-8=0，當1-

4

k2

=0，不符合題意，故1-

4

k2

≠0．由此入手能夠求出求

OQ

•

OR

的取值范圍．
（III）（文科做）由曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，知雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．由

AP

=λ

PB

，且λ＞0，知點A，B均在x軸上方，設A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），由

AP

=λ

PB

，得P點的坐標為（

xA+λxb

1+λ

，

2(xA-λxB)

1+λ

），將P點坐標代入

y2

4

-x2=1中，得xA•xB=

(1+λ)2

-4λ

=-

1

4

(λ+

1

λ

+2)．由此能求出|x_A•x_B|的最小值．
（理科做））由曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，知雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．由

AP

=λ

PB

，且λ＞0，知點A，B均在x軸上方，設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由

AP

=λ

PB

，得點P的坐標為（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

）．將P的從標代入

y2

4

-x2=1中，得mn=

(1+λ)2

4λ

．設∠AOB=2θ，由S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ，由此能求出△ABC面積的最大值．

解答：解：（I）由題意，可知動點P的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線的上半支，
其中c=

5

，2a=4，
∴b=1，
∴曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)．
（II）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由

y2 4 -x2=1 y=k(x+1)

，得(1-

4

k2

)y2+

8

k

y-8=0，
當1-

4

k2

=0，即k=±2時，顯然不符合題意，
∴1-

4

k2

≠0．
∴

△=32- 64 k2 ＞0 y1+y1= 8k 4-k2 ＞0 y1•y2= 8k2 4-k2 ＞0

，
解得

2

＜k＜2．
∵x1•x2=

y1•y2

k2

-

y1+y2

k

+1=1，
∴

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2
=1+

8k2

4-k2

=1-

8(k2-4)+32

k2-4

=-7+

32

4-k2

．
∵

2

＜k＜2，
∴0＜4-k²＜2，
∴

1

4-k2

＞

1

2

，
∴

OQ

•

OR

∈(9，+∞)．
（III）（文科做）∵曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴點P必內分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
不妨設x_A＞0，x_B＜0，
即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），
由

AP

=λ

PB

，得P點的坐標為（

xA+λxb

1+λ

，

2(xA-λxB)

1+λ

），
將P點坐標代入

y2

4

-x2=1中，
化簡，得xA•xB=

(1+λ)2

-4λ

=-

1

4

(λ+

1

λ

+2)．
∴|xA•xB|=

1

4

(λ+

1

λ

+2)，λ∈[

1

3

，2]
∵λ+

1

λ

≥2，當且僅當λ=1時，等號成立．
∴|x_A•x_B|_min=1．
（理科做））∵曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴點P必內分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由

AP

=λ

PB

，得點P的坐標為（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

）．
將點P的從標代入

y2

4

-x2=1中，
化簡，得mn=

(1+λ)2

4λ

．
設∠AOB=2θ，
∵tan(

π

2

-θ)=2，
∴tanθ=

1

2

，sin2θ=

4

5

，
∵|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ
=2mn
=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．
∵λ∈[

1

3

，2]，
∴λ+

1

λ

∈[2，

10

3

]，
∴S△AOB∈ [2，

8

3

]．
∴△ABC面積的最大值為

8

3

．

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答