Question

已知平面內(nèi)一點P與兩個定點F1(-

3

 ， 0)和F2(

3

 ， 0)的距離的差的絕對值為2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線的定義知該軌跡為雙曲線，從而由所給條件可求得其標準方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，與雙曲線方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可用k表示出x₁+x₂，x₁x₂，進而表示出y₁y₂，由OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，解出即可，注意檢驗所求k值是否符合題意要求；

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的定義，可知動點P的軌跡為雙曲線，
其中a=1，c=

3

，則b=

c2-a2

=

2

．
所以動點P的軌跡方程C：x2-

y2

2

=1．                    
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

x2- y2 2 =1  y=kx-2

得（2-k²）x²+4kx-6=0．      
因為直線l與曲線C交于A，B兩點，
所以

2-k2≠0  △=(4k)2-4×(2-k2)×(-6)＞0

，
即-

6

＜k＜

6

且k≠±

2

．   （*）
由根與系數(shù)關(guān)系得 x1+x2=

-4k

2-k2

，x1•x2=

-6

2-k2

，
因為y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
所以y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4．                   
因為OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以 （1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以(1+k2)•

-6

2-k2

-2k•

-4k

2-k2

+4=0，
即k²=1，解得k=±1，由（*）式知k=±1符合題意．
所以直線l的方程是y=x-2或y=-x-2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及雙曲線的標準方程的求解，考查學生對問題的轉(zhuǎn)化能力，考查學生利用知識分析問題解決問題的能力，屬中檔題．