【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) 當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)

【解析】試題分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>..對(duì)a分類(lèi)討論,明確函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即求的最小值大于等于零即可.

試題解析:

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

時(shí), ,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時(shí),令,得,

,得,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時(shí),由(1),知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以,所以恒成立,即符合題意.

法一:當(dāng)時(shí),令

解得: ,

,解得.

①當(dāng)時(shí), ,

所以結(jié)合(1),知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

.

,

恒成立,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以存在,使得,

即存在,使得

即當(dāng)時(shí),不符合題意.

②當(dāng)時(shí), ,

在區(qū)間上恒成立

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以,

顯然不符合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法二:當(dāng)時(shí),令,

所以,取,

故在上, ,

不合題意,舍去.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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