【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是邊長(zhǎng)為8的菱形,,是等邊三角形,二面角的余弦值為.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面夾角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見證明(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)通過(guò)幾何關(guān)系得到平面進(jìn)而得到異面直線垂直;(Ⅱ)建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量,進(jìn)而得到線面角.
(Ⅰ)連接交于點(diǎn)O.
因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形,所以,且和互相平分.
又因?yàn)?/span>,O為的中點(diǎn),所以,
又因?yàn)?/span>,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以.
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作交點(diǎn)為,因?yàn)?/span>平面,所以,
因?yàn)?/span>,所以平面.
易知為二面角的平面角,所以,.
又因?yàn)?/span>,所以和都是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形.
所以,則,.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,.
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,則,
即,則.
所以,
所以直線與平面夾角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小區(qū)打算將如圖的一直三角形區(qū)域進(jìn)行改建,在三邊上各選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀.已知,,則區(qū)域內(nèi)面積(單位:)的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為研究男、女生的身高差異,現(xiàn)隨機(jī)從高二某班選出男生、女生各10人,并測(cè)量他們的身高,測(cè)量結(jié)果如下(單位:厘米):
男:164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女:165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
(1)根據(jù)測(cè)量結(jié)果完成身高的莖葉圖(單位:厘米),并分別求出男、女生身高的平均值.
(2)請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到20名學(xué)生身高的中位數(shù)(單位:厘米),將男、女生身高不低于和低于的人數(shù)填入下表中,并判斷是否有的把握認(rèn)為男、女生身高有差異?
人數(shù) | 男生 | 女生 |
身高 | ||
身高 |
參照公式:
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | .024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(3)若男生身高低于165厘米為偏矮,不低于165厘米且低于175厘米為正常,不低于175厘米為偏高.假設(shè)可以用測(cè)量結(jié)果的頻率代替概率,試求從高二的男生中任意選出2人,恰有1人身高屬于正常的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1,F2分別是橢圓C:1(>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2且不與x軸垂直的動(dòng)直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C右準(zhǔn)線上一點(diǎn),連結(jié)PM,PN,當(dāng)點(diǎn)P為右準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)時(shí)有2PF2=F1F2.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),求直線PM與直線PN的斜率之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)、在橢圓上,且四邊形是矩形,求矩形的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題
①已知為橢圓上任意一點(diǎn),,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則的周長(zhǎng)是8;
②已知是雙曲線上任意一點(diǎn),是雙曲線的右焦點(diǎn),則;
③已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與交于,,,兩點(diǎn),則;
④橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤,點(diǎn),是它的焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦距為,若靜放在點(diǎn)的小球(小球的半徑忽略不計(jì))從點(diǎn)沿直線出發(fā)則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)時(shí),小球經(jīng)過(guò)的路程恰好是.
其中正確命題的序號(hào)為__(請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面上的線段及點(diǎn),任取上一點(diǎn),線段長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離,記作.請(qǐng)你寫出到兩條線段,距離相等的點(diǎn)的集合,,,其中,,,,,是下列兩組點(diǎn)中的一組.對(duì)于下列兩種情形,只需選做一種,滿分分別是① 3分;② 5分.① ,,,;② ,,,.你選擇第_____種情形,到兩條線段,距離相等的點(diǎn)的集合_____________.
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