【題目】【2016高考山東文數(shù)】已知橢圓C:(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2.

I)求橢圓C的方程;

()過動點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長線QM交C于點(diǎn)B.

(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k',證明為定值.

(ii)求直線AB的斜率的最小值.

【答案】() .()(i)見解析;(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .

【解析】

試題分析:()分別計(jì)算即得.

()(i)設(shè)

利用對稱點(diǎn)可得

得到直線PM的斜率,直線QM的斜率,即可證得.

(ii)設(shè),分別將直線PA的方程,直線QB的方程與橢圓方程

聯(lián)立,

應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、表示的式子,進(jìn)一步應(yīng)用基本不等式即得.

試題解析:()設(shè)橢圓的半焦距為c,

由題意知,

所以,

所以橢圓C的方程為.

()(i)設(shè)

,可得

所以 直線PM的斜率

直線QM的斜率.

此時,所以為定值.

(ii)設(shè)

直線PA的方程為,

直線QB的方程為.

聯(lián)立

整理得.

可得 ,

所以,

同理.

所以,

,

所以

,可知,

所以 ,等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得.

此時,即,符號題意.

所以直線AB 的斜率的最小值為 .

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A.5
B.4
C.3
D.1

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