Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=

an

an+1

，(n≥1)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，試比較S_n-n與T_n的大小，并證明；
（Ⅲ）我們知道數(shù)列{a_n}如果是等差數(shù)列，則公差d=

an-am

n-m

(n≠m)是一個(gè)常數(shù)，顯然在本題的數(shù)列{c_n}中

cn-cm

n-m

(n≠m)不是一個(gè)常數(shù)，但

cn-cm

n-m

(n≠m)是否會(huì)小于等于一個(gè)常數(shù)k呢，若會(huì)，請(qǐng)求出k的范圍，若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由an+1=

an

an+1

可得

1

an+1

=

1

an

+1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得{

1

an

}是等差數(shù)列，易得{

1

an

}的首項(xiàng)與公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，結(jié)合（1）可得b_n=ln

1

n

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+x+1，對(duì)f（x）求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，可得任意x＞0，有l(wèi)nx≥x-1成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；又由

1

n

＞0，則ln

1

n

≥n-1，即b_n≥a_n-1，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)；而S_n-n=（a₁-1）+（a₂-1）+…+（a_n-1），結(jié)合ln

1

n

≥n-1，可得結(jié)論；
（Ⅲ）由（1）可知cn=

1

n

+ln

1

n

，不妨設(shè)

cn-cm

n-m

≤k恒成立，且n＞m≥1，可以將其變形為c_n-c_m≤k（n-m），即c_n-kn≤c_m-km，記f（n）=c_n-kn，則f（n）在N^*上單調(diào)遞減，所以f（n+1）-f（n）=c_n+1-c_n-k≤0恒成立；記t=n（n+1）≥2，g(t)=lnt+

1

t

，對(duì)g（t）求導(dǎo)可得，g（t）的最小值，結(jié)合k與g（t）的關(guān)系，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得

1

an+1

=

1

an

+1，所以{

1

an

}是等差數(shù)列，則其首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=1，
所以

1

an

=1+（n-1）×1=n，從而a_n=

1

n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=ln

1

n

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，則f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
即當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）≤f（1）=0，即任意x＞0，有l(wèi)nx≤x-1成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；
又由n＞0，則

1

n

＞0，
令x=

1

n

，可得ln

1

n

≤

1

n

-1，即b_n≤a_n-1，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)，
所以S_n-n=（a₁-1）+（a₂-1）+…+（a_n-1）≥b₁+b₂+…+b_n=T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)；
即S_n-n≥T_n，n=1時(shí)等號(hào)成立；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知cn=

1

n

+ln

1

n

，不妨設(shè)

cn-cm

n-m

≤k恒成立，且n＞m≥1，
則c_n-c_m≤k（n-m），等價(jià)于c_n-kn≤c_m-km，
記f（n）=c_n-kn，則f（n）在N^*上單調(diào)遞減，
所以f（n+1）-f（n）=c_n+1-c_n-k≤0恒成立；
所以k≥(cn+1-cn)max=-[

1

n(n+1)

+lnn(n+1)]max
記t=n（n+1）≥2，g(t)=lnt+

1

t

，所以g′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0，
所以g（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g(t)min=g(2)=ln2+

1

2

所以k≥-(ln2+

1

2

)為所求范圍．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)與數(shù)列，注意數(shù)列其實(shí)是特殊的函數(shù)，其定義域是{1，2，3，…}，可以結(jié)合函數(shù)的一些性質(zhì)、問(wèn)題處理方法，來(lái)處理數(shù)列的問(wèn)題．