Question

【題目】已知函數(shù)f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）在（，）上單調(diào)遞減；③當(dāng)θ∈[，]時(shí)，有|f（x）|；④當(dāng)θ∈[，]時(shí)，有|f'（x）|；其中所有真命題的編號(hào)是( )

A.①③B.②④C.①③④D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

對(duì)①直接進(jìn)行奇偶性的判斷即可，對(duì)②③④可用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

①函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，

∵f（﹣x）=（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]=（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）=f（x），

∴f（x）是偶函數(shù)，即①正確；

②f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1，

設(shè)t=cosx，則f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函數(shù)的開(kāi)口向上，

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t，且t的正負(fù)與cosθ的取值有關(guān)，

∴f（x）在（，）上不一定單調(diào)遞減，即②錯(cuò)誤；

③當(dāng)θ∈[，]時(shí)，cosθ∈[，]，

f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1

設(shè)t=cosx，則t∈，

則f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函數(shù)的開(kāi)口向上，

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t，

，

，

，

當(dāng)， 故③錯(cuò)誤.

④當(dāng)θ∈[，]時(shí)，cosθ∈[，]

有

，故④成立.

故選：D.