Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足2 =an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=（an+1）2 ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ， 有2 =a1+1，解得a1=1； 當(dāng)n≥2時(shí)，由2 =an+1得4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，
兩式相減得4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），
所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)為正，所以an﹣an﹣1﹣2=0，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=（an+1）2 =2n22n﹣1=n4n ．
所以前n項(xiàng)和Tn=14+242+343+…+n4n ，
4Tn=142+243+344+…+n4n+1 ，
兩式相減得﹣3Tn=4+42+43+…+4n﹣n4n+1
= ﹣n4n+1 ，
化簡(jiǎn)可得Tn= + 4n+1 ．
【解析】（Ⅰ）首先利用Sn與an的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1；結(jié)合已知條件等式推出數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）首先結(jié)合（Ⅰ）求得bn的表達(dá)式，然后利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．