【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(1)=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為0?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),遞減區(qū)間是(1,3).

(2) 存在實(shí)數(shù)使f(x)的最小值為0.

【解析】分析:(1)根據(jù)f(1)=1代入函數(shù)表達(dá)式,解出a=﹣1,再代入原函數(shù)得f(x)=log4(﹣x2+2x+3),求出函數(shù)的定義域后,討論真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性,即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為0,根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立,且真數(shù)t的最小值恰好是1,再結(jié)合二次函數(shù)t=ax2+2x+3的性質(zhì),可列出式子:,由此解出a=,從而得到存在a的值,使f(x)的最小值為0.

詳解:(1)∵f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1,

∴l(xiāng)og4(a12+2×1+3)=1a+5=4a=﹣1

可得函數(shù)f(x)=log4(﹣x2+2x+3)

真數(shù)為﹣x2+2x+3>0﹣1<x<3

函數(shù)定義域?yàn)椋ī?,3)

令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4

可得:當(dāng)x(﹣1,1)時(shí),t為關(guān)于x的增函數(shù);

當(dāng)x(1,3)時(shí),t為關(guān)于x的減函數(shù).

底數(shù)為4>1

函數(shù)f(x)=log4(﹣x2+2x+3)的單調(diào)增區(qū)間為(﹣1,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,3)

(2)設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為0,

由于底數(shù)為41,可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立,

且真數(shù)t的最小值恰好是1,

即a為正數(shù),且當(dāng)x=﹣=﹣時(shí),t值為1.

a=

因此存在實(shí)數(shù)a=,使f(x)的最小值為0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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經(jīng)過(guò)計(jì)算,,.

(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)

(2)殘差絕對(duì)值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應(yīng)用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程.(精確到).

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= (n∈N* , a為常數(shù)),等差數(shù)列a2 , a3 , a6是數(shù)列{an}的一個(gè)3子階數(shù)列.
(1)求a的值;
(2)等差數(shù)列b1 , b2 , …,bm是{an}的一個(gè)m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,且b1= (k為常數(shù),k∈N* , k≥2),求證:m≤k+1
(3)等比數(shù)列c1 , c2 , …,cm是{an}的一個(gè)m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,求證:c1+c1+…+cm≤2﹣

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表二:女生

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(2)由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

參考公式: ,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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