【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),已知AB=2,AD=2 ,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面積;
(2)異面直線(xiàn)BC與AE所成的角的大。
【答案】
(1)解:∵PA⊥底面ABCD,CD底面ABCD,
∴CD⊥PA.
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,而PA、AD是平面PAD的交線(xiàn).
∴CD⊥平面PDA,
∵PD平面PDA,∴CD⊥PD,三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
∵Rt△PAD中,AD=2 ,PA=2,
∴PD= =2 .
∴三角形PCD的面積S= ×PD×DC=2 .
(2)解:[解法一]
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,可得B(2,0,0),C(2,2 ,0),E(1, ,1).
∴ =(1, ,1), =(0,2 ,0),
設(shè) 與 夾角為θ,則cosθ= = = ,
∴θ= ,由此可得異面直線(xiàn)BC與AE所成的角的大小為 .
[解法二]
取PB的中點(diǎn)F,連接AF、EF、AC,
∵△PBC中,E、F分別是PC、PB的中點(diǎn),
∴EF∥BC,∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)BC與AE所成的角.
∵Rt△PAC中,PC= =4.
∴AE= PC=2,
∵在△AEF中,EF= BC= ,AF= PB=
∴AF2+EF2=AE2,△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
∴∠AEF= ,可得異面直線(xiàn)BC與AE所成的角的大小為 .
【解析】(1)可以利用線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì),證明出三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,然后在Rt△PAD中,利用勾股定理得到PD=2 ,最后得到三角形PCD的面積S;(2)[解法一]建立如圖空間直角坐標(biāo)系,可得B、C、E各點(diǎn)的坐標(biāo),從而 =(1, ,1), =(0,2 ,0),利用空間向量數(shù)量積的公式,得到 與 夾角θ滿(mǎn)足:cosθ= ,由此可得異面直線(xiàn)BC與AE所成的角的大小為 ;[解法二]取PB的中點(diǎn)F,連接AF、EF,△PBC中,利用中位線(xiàn)定理,得到EF∥BC,從而∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)BC與AE所成的角,然后可以通過(guò)計(jì)算證明出:△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,所以∠AEF= ,可得異面直線(xiàn)BC與AE所成的角的大小為 .
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線(xiàn)及其所成的角和直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握異面直線(xiàn)所成角的求法:1、平移法:在異面直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線(xiàn);2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線(xiàn)間的關(guān)系;垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫(xiě)有和、“諧”、“!薄皥@”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“和”、“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用,,,代表“和”、“諧”、“!、“園”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù):
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個(gè),再?gòu)倪@5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)芒果都來(lái)自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率;
(3)某經(jīng)銷(xiāo)商來(lái)收購(gòu)芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷(xiāo)商提出以下兩種收購(gòu)方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收購(gòu);
方案②:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu),對(duì)質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個(gè)收購(gòu).
通過(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104 , x5=105 , 隨機(jī)變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量ξ2取值 、 、 、 、 的概率也均為0.2,若記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差,則( )
A.Dξ1>Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1<Dξ2
D.Dξ1與Dξ2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(xiàn)C1:2x2﹣y2=1.
(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn),求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線(xiàn)l交C1于P、Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線(xiàn)MN的距離是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , CA=CC1=2CB,則直線(xiàn)BC1與直線(xiàn)AB1夾角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),求的最值;
(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為 ( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. B. C. D.
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