【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2﹣y2=1.
(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.
【答案】
(1)解:雙曲線C1: 左頂點(diǎn)A(﹣ ),
漸近線方程為:y=± x.
過A與漸近線y= x平行的直線方程為y= (x+ ),即y= ,
所以 ,解得 .
所以所求三角形的面積為S= .
(2)解:設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,
因直線PQ與已知圓相切,故 ,
即b2=2,由 ,
得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則 ,
又y1y2=(x1+b)(x2+b).
所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(﹣1﹣b2)+2b2+b2
=b2﹣2=0.
故PO⊥OQ.
(3)解:當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí),|ON|=1,|OM|= ,則O到直線MN的距離為 .
當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí),設(shè)直線ON的方程為:y=kx,(顯然|k|> ),
則直線OM的方程為y= ,由
得 ,
所以 .
同理 ,
設(shè)O到直線MN的距離為d,
因?yàn)椋▅OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,
所以 = =3,
即d= .
綜上,O到直線MN的距離是定值.
【解析】(1)求出雙曲線的漸近線方程,求出直線與另一條漸近線的交點(diǎn),然后求出三角形的面積.(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,通過直線PQ與已知圓相切,得到b2=2,通過求解 =0.證明PO⊥OQ.(3)當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí),直接求出O到直線MN的距離為 .當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí),設(shè)直線ON的方程為:y=kx,(顯然|k|> ),推出直線OM的方程為y= ,利用 ,求出 , ,設(shè)O到直線MN的距離為d,通過(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2 , 求出d= .推出O到直線MN的距離是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為.求證:對(duì)任意的,總有.
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【題目】設(shè)A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A,B;
(2)設(shè)全集U=A∪B,求(UA)∪(UB);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線與相交于兩點(diǎn),求過兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),已知AB=2,AD=2 ,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面積;
(2)異面直線BC與AE所成的角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為正整數(shù),集合(),對(duì)于集合中的任意元素和,記.
(1)當(dāng)時(shí),若,,求和的值;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)是的子集,且滿足:對(duì)于中的任意元素、,當(dāng)、相同時(shí),是奇數(shù),當(dāng)、不同時(shí),是偶數(shù),求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),記作,,且,證明:(為自然對(duì)數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,命題雙曲線的離心率,若“”為假命題,“”為真命題,則的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為 ,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為 ,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次得的概率;
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.
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