Question

【題目】已知橢圓E： 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 左、右頂點(diǎn)分別為A，B．以F1F2為直徑的圓O過橢圓E的上頂點(diǎn)D，直線DB與圓O相交得到的弦長為 ．設(shè)點(diǎn)P（a，t）（t≠0），連接PA交橢圓于點(diǎn)C，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．

（I）求橢圓E的方程；
（II）若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求|t|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)橐訤1，F(xiàn)2為直徑的圓O過點(diǎn)D，所以b=c，則圓O的方程為x2+y2=b2，

又a2=b2+c2，所以 ，直線DB的方程為 ，直線DB與圓O相交得到的弦長為 ，

則 ，所以b=1， ，

所以橢圓E的方程為 ．

（Ⅱ）由已知得： ，b=1，橢圓方程為 ，

設(shè)直線PA的方程為 ，由

整理得 ，

解得： ， ，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ，

故直線BC的斜率為 ，由于直線OP的斜率為 ，

所以kBCkOP=﹣1，所以O(shè)P⊥BC．

所以 ， ，所以 ，

整理得2+t2≥4， ，所以

【解析】（Ⅰ）由題意可知：b=c，則 ，則直線DB的方程為 ，由題意可知 ，即可求得b及a的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線PA的方程為 ，代入橢圓方程，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，直線BC的斜率為 ，由于直線OP的斜率為 ，可得OP⊥BC，分別求得三角形ABC的面積及四邊形OBPC的面積由 ，即可求得丨t丨取值范圍，即可求得|t|的最小值．