Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結(jié)合，即可得到的范圍，命題得證；
（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，進行二次求導(dǎo).由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.

解：（1）由題知，

∵函數(shù)在，處取得極值1，

，且，

，

，

令，則

為增函數(shù)，

，即成立.

（2）不等式恒成立，

即不等式恒成立，即恒成立，

令，則

令，則,

，，

在上單調(diào)遞增，且，

有唯一零點，且，

當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.

，

由整理得

，

令，則方程等價于

而在上恒大于零，

在上單調(diào)遞增，

.

，

∴實數(shù)的取值范圍為.