【題目】已知拋物線的頂點是橢圓的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知動直線過點,交拋物線于,兩點,坐標(biāo)原點為的中點,求證;
(3)在(2)的條件下,是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)證明見解析;(3)存在;直線
【解析】
(1)根據(jù)橢圓焦點坐標(biāo)可求得的值,從而求得拋物線的方程;
(2)設(shè)出點的坐標(biāo),并求得點的坐標(biāo),當(dāng)直線的斜率不存在時利用拋物線的對稱性可使問題得證,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)出直線的方程,然后聯(lián)立拋物線的方程,從而利用韋達(dá)定理與斜率公式可使問題得證;
(3)首先設(shè)直線滿足題意,由此得到圓心的坐標(biāo),然后過點作直線的垂線,垂足為,設(shè)直線與圓的一個交點為,從而根據(jù)求出的值,使問題得解.
解:(1)設(shè)拋物線的方程為
由題意可知,拋物線的焦點為
∴
∴拋物線的方程為.
(2)證明:設(shè),
由為的中點,得點的坐標(biāo)為
當(dāng)垂直于軸時,由拋物線的對稱性知;
當(dāng)不垂直于軸時,設(shè)
由,
∴
∵,,
∴
∴.
(3)設(shè)存在直線滿足題意
由(2)知圓心,過作直線的垂線,垂足為,則
設(shè)直線與圓的一個交點為,連接,則
即
.
當(dāng)時,,
此時直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值,因此存在直線滿足題意.
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【題目】現(xiàn)有一排10個位置的空停車場,甲、乙、丙三輛不同的車去停放,要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.
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【題目】將6個數(shù)2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行,拼成一個8位數(shù)(首位不為0),則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個數(shù)為______ .
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【題目】四棱錐的底面ABCD是邊長為a的菱形,面ABCD,,E,F分別是CD,PC的中點.
(1)求證:平面平面PAB;
(2)M是PB上的動點,EM與平面PAB所成的最大角為,求二面角的余弦值.
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【題目】圓過橢圓的下頂點及左、右焦點,,過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于,兩點,線段的中垂線交軸于點且垂足為點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)證明:當(dāng)直線斜率變化時為定值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時,,給出下列命題:
①函數(shù)有2個零點;
②的解集為;
③,,都有;
④當(dāng)時,,則.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知正項數(shù)列滿足: , .為數(shù)列的前項和.
(Ⅰ)求證:對任意正整數(shù),有;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意,總存在正整數(shù),使得時, .
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【題目】某圓柱的高為2,底面周長為16,則其體積為_________,若該圓柱的三視圖如圖所示,圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在側(cè)視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為___________.
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【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1,E,F分別是棱CC1,AB的中點.
(1)證明:CF∥平面AEB1.
(2)若AC=BC=AA1=4,∠ACB=90°,求三棱錐B1﹣ECF的體積.
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