Question

已知a＞0，函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，1]的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：∵f′（x）=a²x²-2ax
（I）當a=1時，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在點（1，f（1））的切線方程為y=-x+1
（II）令f′（x）=0得
（1）當，
x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增

所以當x=0時，有極大值；當有極小值
（2）當，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，1）遞減
所以f（x）極大值為f（0）=，無極小值
（III）設F（x）=f（x）-g（x）=，
F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）
∵
∴F′（x）=a²x²+a（1-2x）＞0
∴
則
依題意，只需F（x）_max＞0
即
解得
所以實數(shù)a的取值范圍是（
分析：（I）求出函數(shù)在x=1處的導數(shù)即切線的斜率，利用直線方程的點斜式求出切線的方程．
（II）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為求出兩個根，兩個的大小引起討論；判斷導函數(shù)在根左右兩邊的符號，判斷出函數(shù)的單調性，利用極值的定義求出函數(shù)的極值．
（III）構造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導數(shù)，通過導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，將問題轉化為最大值大于0，求出a的范圍．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義|在切點處的導數(shù)值是切線的斜率、考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)的最值、考查不等式有解問題等價轉化為函數(shù)的最值問題．