【題目】已知橢圓C與橢圓E: 共焦點,并且經(jīng)過點 ,
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)在橢圓C上任取兩點P、Q,設(shè)PQ所在直線與x軸交于點M(m,0),點P1為點P關(guān)于軸x的對稱點,QP1所在直線與x軸交于點N(n,0),探求mn是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)

解:橢圓E: 的焦點為(± ,0),

設(shè)橢圓C的方程為 + =1(a>b>0),

可得c= = ,

代入橢圓方程,可得 + =1,

解得a=2,b=

即有橢圓C的方程為


(2)

解:當PQ斜率不存在時,不合題意.

故設(shè)PQ為y=kx+b,(k≠0,b≠0),則

設(shè)點P(x1,y1),則P1(x1,﹣y1),

設(shè)Q(x2,y2),則P1Q方程為 ,

令y=0,

,

得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣4=0,

.則 ,

,所以mn=4.所以mn是定值,定值為4


【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為 + =1(a>b>0),可得c= = ,點 代入橢圓方程,解方程即可得到所求方程;(2)當PQ斜率不存在時,不合題意.故設(shè)PQ為y=kx+b,(k≠0,b≠0),代入橢圓方程,運用韋達定理,以及直線方程的運用,即可得到定值.

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出下列命題:

命題b2-4ac<0,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實根的否命題;

命題△ ABC,AB=BC=CA,△ ABC為等邊三角形的逆命題;

命題a>b>0,a>b>0”的逆否命題;

命題m>1,mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集為R”的逆命題.

其中真命題的序號為______.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司計劃購買2臺機器該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)得下面柱狀圖:

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

(1)X的分布列;

(2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;

(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),n19n20之中選其一應(yīng)選用哪個?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點,P是準線l上的動點,直線PF交拋物線于A,B兩點,若點P的縱坐標是m(m≠0),D為準線lx軸的交點.

(1)m=2,△DAB的面積;

(2)設(shè),求證:λ+μ為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則:

①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;

②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;

③“t≠0,mt=ntm=n”類比得到“c≠0,a·c=b·ca=b”;

④“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;

⑤“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a(b·c)”;

⑥“”類比得到.以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的是________

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2 , 有|x1﹣x2|min= ,則φ=( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某中學團委組織了“弘揚奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:

(1)求第四小組的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;

(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;

(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點,F為拋物線的焦點,|AF|+|BF|=8.

(1)p的值.

(2)線段AB的垂直平分線lx軸的交點是否為定點?若是,求出交點坐標;若不是,說明理由.

(3)求直線l的斜率的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥| +a|在R上恒成立,則a的取值范圍是( 。
A.[﹣ ,2]
B.[﹣ , ]
C.[﹣2 ,2]
D.[﹣2 ]

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