【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，在上且.

（I）求證：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值；

（III）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】I.見解析；Ⅱ. ；Ⅲ.滿足條件的點(diǎn)G存在，且

【解析】

I:建立空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的直線的方向向量和平面的法向量，證明向量的平行即可；Ⅱ：求出平面SBD的法向量，直線SA的方向向量，由公式可得到線面角；Ⅲ.假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=1.則G（1，t，0），求出平面AFG的法向量，和面AFE的法向量，由二面角的平面角的公式得到關(guān)于t的方程，進(jìn)而求解.

I.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB.AS為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）

由SF=2FE得F(,,)

平面

平面SBC

Ⅱ.設(shè)（x1，y1，z1）是平面SBD的一個(gè)法向量，

由于，則有

令，則，即。

設(shè)直線SA與平面SBD所成的角為，而，

所以

Ⅲ.假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=.則G（1，t，0）.

所以

設(shè)平面AFG的法向量為，

則

取，得

即.

設(shè)平面AFE的法向量為

則

取，得，即

由得二面角G-AF-E的大小為得

，化簡得，

又，求得，于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且

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【題目】如圖，在四棱錐中：底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且，BC=1，M為棱PD上的點(diǎn)。

（Ⅰ）若，求證：CM∥平面PAB；

（Ⅱ）求證：平面平面PAB；

（Ⅲ）求直線BD與平面PAD所成角的大小.

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【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為 。

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，(為常數(shù))

(1)若

①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值。

②若過點(diǎn)可作函數(shù)的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。

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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn).

（1）證明：直線 平面PAB；

（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值.

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【題目】已知二次函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，且關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)（0,1），求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)；

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【題目】隨著智能手機(jī)的普及，使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠�，很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來越大.長沙某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求，準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市（總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近）采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn)，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià):(單位：元/月）和購買人數(shù)(單位：萬人）的關(guān)系如表:

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

（2）①求出關(guān)于的回歸方程；

②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定位25元/ 月，請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測長沙市一個(gè)月內(nèi)購買該流量包的人數(shù)能否超過20 萬人.

參考數(shù)據(jù)：，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程，

其中，.

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