Question

【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為 。

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1） 根據(jù)題意，得；由的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，利用點(diǎn)到直線距離公式求得，進(jìn)而得到橢圓方程。

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)兩個交點(diǎn)則 ，得到關(guān)于m、k的不等式；再根據(jù)，利用韋達(dá)定理求得m與k的等量關(guān)系；根據(jù)弦長公式用m、k表示出的長度，利用等量關(guān)系將化為關(guān)于k的整式，利用換元法和求導(dǎo)，得到的取值范圍。

（1）由題意可知：，

又橢圓的上頂點(diǎn)為，

雙曲線的漸近線為：，

由點(diǎn)到直線的距離公式有：.

∴橢圓方程：

（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入，消去并整理得：

，

要與相交于兩點(diǎn)，則應(yīng)有：

設(shè)，

則有：，.

又 .

又：，所以有： ，

，②

將，代入，消去并整理得：，

要有兩交點(diǎn)，則 .③

由①②③有：

設(shè)、.

有：，

.

將代入有：

.

,令,

令 ,.

所以在內(nèi)恒成立，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，

故 .