(2013•浦東新區(qū)二模)如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)是2,體積是16,M,N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn).
(1)求異面直線MN與A1C1所成角的大小(結(jié)果用反三角表示);
(2)求過A1,B,C1的平面與該正四棱柱所截得的多面體A1C1D1-ABCD的體積.
分析:(1)利用三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義即可得出;
(2)先計(jì)算出三棱錐B-A1B1C1體積,即可得出要求的體積.
解答:解:(1)由題意得16=22×B1B,∴B1B=4.
在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=
22+22
=2
2
=A1C1
同理可得BC1=BA1=
22+42
=2
5

連接BC1,∵M(jìn),N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn),∴BC1∥MN,
∴∠A1C1B或其補(bǔ)角是異面直線MN與A1C1所成的角.
連接BA1,在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1C1B=
(2
2
)2+(2
5
)2-(2
5
)2
2×2
2
×2
5
=
10
10

∴異面直線MN與A1C1所成的角為arccos
10
10

(2)∵VB-A1B1C1=
1
3
×
1
2
×2×2×4=
8
3
;
VA1C1D1-ABCD=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=16-
8
3
=
40
3

∴多面體A1C1D1-ABCD的體積為
40
3
點(diǎn)評(píng):熟練掌握三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義及三棱錐的體積是解題的關(guān)鍵.
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