Question

【題目】華中師大附中中科教處為了研究高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是否與性別有關(guān)，從高一年級(jí)抽取60名同學(xué)（男同學(xué)30名，女同學(xué)30名），給所有同學(xué)物理題和數(shù)學(xué)題各一題，讓每位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表：（單位：人）

	物理題	數(shù)學(xué)題	總計(jì)
男同學(xué)	16	14	30
女同學(xué)	8	22	20
總計(jì)	24	36	60

（1）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的條件下，能否判斷高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時(shí)間為5﹣8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時(shí)間為6﹣8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率；
（3）現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對(duì)他們的解答情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附表及公式：

P（K2k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表中數(shù)據(jù)得K2= = ≈4.444＜6.635，

在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，不能判斷高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性質(zhì)有關(guān)．

（2）解：設(shè)甲、乙解答一道物理題的時(shí)間分別為x，y分鐘，

∵甲每次解答一道物理題所用的時(shí)間為5﹣8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時(shí)間為6﹣8分鐘，

∴ ，設(shè)事件A表示“甲比乙先解答完”，則A表示“x＜y”，

作出可行域，如右圖：

∴甲比乙先解答完的概率P（A）= = ．

（3）解：由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 =28種，

其中甲、乙兩人沒(méi)有一個(gè)人被抽到有 種，恰有一人被抽到有 種，兩人都被抽到有 種，

∴X的可能取值為0，1，2，

P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)求出K2≈4.444＜6.635，從而得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，不能判斷高一學(xué)生對(duì)物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性質(zhì)有關(guān)．（2）設(shè)甲、乙解答一道物理題的時(shí)間分別為x，y分鐘，由甲每次解答一道物理題所用的時(shí)間為5﹣8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時(shí)間為6﹣8分鐘，利用幾何概型能求出甲比乙先解答完的概率．（3）由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 =28種，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．