Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】分析：第一問首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；第二問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到相應(yīng)的最值求得結(jié)果；第三問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，找到函數(shù)的最值來得到結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，．所以，，切線方程為．

（2）由（Ⅰ）知，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值是，因此.

（3），令，則．當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在恒成立，即．

當(dāng)，，當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以在上的最大值等于．因?yàn)?/span>，．

設(shè)()，所以．由（2）知在恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，所以在恒成立，即，因此當(dāng)時(shí)，在上的最大值為．