【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證：.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.且 ，據(jù)此列表討論可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.的極大值為，無極小值.

（Ⅱ）由題意可得恒成立，令 ，由導(dǎo)函數(shù)可得當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則 ，據(jù)此結(jié)合不等式的性質(zhì)利用放縮法即可證得.

（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>.

，令，得.

0

增

極大值

減

由上圖表知：

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

的極大值為，無極小值.

（Ⅱ） ，令 又，

令解得，當(dāng)x在內(nèi)變化時(shí)，，變化如下表：

x

)

+

0

↗

↘

由表知，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

，

又

，

，

即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，且圓心C在直線l上．

Ⅰ求直線l的直角坐標(biāo)方程及圓C的極坐標(biāo)方程；

Ⅱ若是直線l上一點(diǎn)，是圓C上一點(diǎn)，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行項(xiàng)，排；第二行項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行項(xiàng)，……以此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）

4,

4,43

4,43,4

4,43,4 , 4

…

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某電子科技公司由于產(chǎn)品采用最新技術(shù)，銷售額不斷增長，最近個(gè)季度的銷售額數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（其中表示年第一季度，以此類推）：

季度

季度編號(hào)x

銷售額y（百萬元）

（1）公司市場(chǎng)部從中任選個(gè)季度的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，求這個(gè)季度的銷售額都超過千萬元的概率；

（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司的銷售額.

附：線性回歸方程：其中，

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，為等邊三角形，，，與平面所成角的正切值為.

(Ⅰ)證明：平面；

(Ⅱ)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它的短軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)為，一個(gè)定點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)..

（1）求橢圓的方程及離心率.

（2）如果以為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營狀況，對(duì)該公司2018年連續(xù)六個(gè)月的利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示

（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年3月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，現(xiàn)有，兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用個(gè)月，但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不相同，現(xiàn)對(duì)，兩種型號(hào)的新型材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品各件進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

使用壽命

材料類型

個(gè)月

個(gè)月

個(gè)月

個(gè)月

總計(jì)

如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人，你會(huì)選擇采購哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸直線方程為，其中 .

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