【題目】已知函數(shù)滿足，對于任意都有，且，另

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并給予證明.

【答案】（1）；

（2）當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點,證明見解析.

【解析】

（1）先由，得，由，得出對稱軸方程為，于是得出，再由得出不等式對任意恒成立，于是得出，從而解出、的值，進而得出函數(shù)的解析式；

（2）先將函數(shù)表示成分段函數(shù)的形式，考查對稱軸與相應(yīng)定義域的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）利用（2）中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與零點存在定理得出函數(shù)的零點個數(shù).

（1），，

對于任意都有,

函數(shù)的對稱軸為，即，得.

又，即對于任意都成立，

且，又，，．

；

（2）.

① 當時，函數(shù)的對稱軸為，

若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

② 當時，函數(shù)的對稱軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當時，由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，故函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，直線與相交于不同的兩點．

（1）求的方程；

（2）若直線經(jīng)過點，求的面積的最小值(為坐標原點)；

（3）已知點，直線經(jīng)過點，為線段的中點，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）對于任意，，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于數(shù)列，定義， ．

(1) 若，是否存在，使得？請說明理由；

(2) 若， ，求數(shù)列的通項公式；

(3) 令，求證：“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項為等差數(shù)列，且為等差數(shù)列”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形， 平面，，E，F分別是，的中點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有一堆規(guī)格相同的正六棱柱型金屬螺帽毛坯，經(jīng)測定其密度為，總重量為.其中一個螺帽的三視圖如下圖所示（單位：毫米）.

（1）這堆螺帽至少有多少個；

（2）對上述螺帽作防腐處理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料（結(jié)果精確到0.01）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“團購”已經(jīng)滲透到我們每個人的生活，這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展，下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務(wù)量（x億件：精確到0.1）及其增長速度（y%）的數(shù)據(jù)

（1）試計算2012年的快遞業(yè)務(wù)量；

（2）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現(xiàn)已知y與t具有線性相關(guān)關(guān)系，試建立y關(guān)于t的回歸直線方程；

（3）根據(jù)（2）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業(yè)務(wù)量

附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設(shè)橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上運動，求的值；

（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點，為原點，線段、分別和圓交于、兩點，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解高一年級學生學習數(shù)學的狀態(tài),從期中考試成績中隨機抽取50名學生的數(shù)學成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數(shù)學成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學生數(shù)學成績達到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).

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