Question

某工廠修建一個長方體形無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設(shè)池底長方形長為x米．
（Ⅰ）求底面積并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；
（Ⅱ）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低？最低造價是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題意，本小題是一個建立函數(shù)模型的問題，可設(shè)水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，由題中所給的關(guān)系，將此兩者用池底長方形長x表示出來．
（Ⅱ）此小題是一個花費(fèi)最小的問題，依題意，建立起總造價的函數(shù)解析式，由解析式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，此函數(shù)的最小值可用基本不等式求最值，從而由等號成立的條件求出池底邊長度，得出最佳設(shè)計(jì)方案

解答：解：（Ⅰ）設(shè)水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，
則有S1=

4800

3

=1600（平方米），
可知，池底長方形寬為

1600

x

米，則S2=6x+6×

1600

x

=6(x+

1600

x

)（5分）
（Ⅱ）設(shè)總造價為y，則y=150×1600+120×6(x+

1600

x

)≥240000+57600=297600
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1600

x

，即x=40時取等號，
所以x=40時，總造價最低為297600元．
答：x=40時，總造價最低為297600元．（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起符合條件的函數(shù)模型，故分析清楚問題的邏輯聯(lián)系是解決問題的重點(diǎn)，此類問題的求解的一般步驟是：建立函數(shù)模型，進(jìn)行函數(shù)計(jì)算，得出結(jié)果，再將結(jié)果反饋到實(shí)際問題中指導(dǎo)解決問題