【題目】在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們通常遇到相似的問(wèn)題.

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)為圓： 外一點(diǎn)，過(guò)引圓的兩條切線、. 、為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓： 外一點(diǎn)，過(guò)引橢圓的兩條切線、. 、為切點(diǎn)，若，猜想動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么，請(qǐng)給出證明并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】(1) (2) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，點(diǎn)的軌跡方程為

【解析】試題分析：（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形OAPB為正方形，所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|OP|長(zhǎng)為半徑的圓上，進(jìn)而可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)兩切線為l1，l2，分當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，和當(dāng)l1與x軸垂直或平行時(shí)兩種情況，結(jié)合，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

試題解析：

（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形為正方形

所以點(diǎn)在以為圓心， 長(zhǎng)為半徑的圓上，且

進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為

（2）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓

設(shè)兩切線，

①當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

設(shè)的斜率為，則， 的斜率為，

的方程為，聯(lián)立

得

因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，得

，

化簡(jiǎn)，

進(jìn)而

所以

所以是方程的一個(gè)根.

同理是方程的另一個(gè)根.

所以，得，其中

②當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或軸，可知，滿足上式，

綜上知：點(diǎn)的軌跡方程為

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（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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B. 若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β

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（2）設(shè)點(diǎn)是（1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：如果是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值，請(qǐng)給予證明.

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