【題目】已知函數(shù)(且).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若,討論函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若有兩個極值點、,證明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)求出和的值,利用點斜式可得出所求切線的方程;
(Ⅱ)求得,由,分和兩種情況討論,分析的符號變化,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;
(Ⅲ)由題意可知,方程有兩正根、,利用韋達定理得出,且,將所證不等式轉化為,構造函數(shù),利用導數(shù)證明出當時,即可.
由題可知:函數(shù)的定義域為
(Ⅰ)因為時,,所以,
那么,,
所以曲線在處的切線方程為:,
即;
(Ⅱ)因為,由可得:
①當,,時,有,,滿足,
和時,
即函數(shù)在和上為減函數(shù);
時,,即函數(shù)在上為增函數(shù);
②當時,,恒成立,所以函數(shù)在為減函數(shù).
綜上可知:
當時,函數(shù)在和上為減函數(shù),
在上為增函數(shù);
當時,函數(shù)在上為減函數(shù);
(Ⅲ)因為有兩個極值點、,
則有兩個正根、,則有,且,,即,
所以
若要,即要,
構造函數(shù),則,易知在上為增函數(shù),
且,,
所以存在使即,
且當時,函數(shù)單調(diào)遞減;
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在上有最小值為,
又因為則,所以在上恒成立,
即成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如下表所示:
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;
(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:
(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;
(ii)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:
獲贈的隨機話費(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學期望.
附:①;
②若,則,,.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,M,M1分別為AB,A1B1中點.
(1)求證:C1M1∥面A1MC;
(2)若面ABC⊥面ABB1A1,△AB1B為正三角形,AB=2,BC=1,,求四棱錐B1﹣AA1C1C的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結構如圖所示,開口為正六邊形ABCDEF,側棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三個全等的菱形構成.瑞士數(shù)學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結構是在相同容積下所用材料最省的,因此,有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學方法設計自己的家園.英國數(shù)學家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′=109°28′16'.已知一個房中BB'=5,AB=2,tan54°44′08',則此蜂房的表面積是_____.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近五年來某草場羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)兩變量間的關系如表所示,繪制相應的散點圖,如圖所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只數(shù)量(萬只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指數(shù) | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根據(jù)表及圖得到以下判斷:①羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)成減函數(shù)關系;②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關系數(shù)為,去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關系數(shù)為,則;③可以利用回歸直線方程,準確地得到當羊只數(shù)量為2萬只時的草場植被指數(shù);以上判斷中正確的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+acosx.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性.并證明當|a|≤2時函數(shù)f(x)只有一個極值點;
(2)當a=π時,求f(x)的最小值;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把4個相同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為;把4個不同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為.現(xiàn)在從到的所有整數(shù)中(包括和兩個整數(shù))抽取3個數(shù),則這3個數(shù)之和共有( )種結果.
A.26B.27C.28D.29
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線C:,過拋物線焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,P是拋物線外一點,連接,分別交拋物線于點C,D,且,設,的中點分別為M,N.
(1)求證:軸;
(2)若,求面積的最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com