已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4和直線l：kx-y-4k+3=0
（1）求證：不論k取什么值，直線和圓總相交；
（2）求k取何值時，圓被直線截得的弦最短，并求最短弦的長．
【答案】分析：（1）由直線l的方程y-3=k（x-4）可得直線l恒通過定點（4，3），而點（4，3）在圓的內部，故直線l與圓C總相交．
（2）先求出圓心到直線l的距離為d，設弦長為L，則，再根據L的解析式，利用基本不等式求得
L的最小值．
解答：解：（1）證明：由直線l的方程可得y-3=k（x-4），則直線l恒通過定點（4，3），把（4，3）代入圓C的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，
所以點（4，3）在圓的內部，所以直線l與圓C總相交．
（2）設圓心到直線l的距離為d，則 ，
又設弦長為L，則，即  =4-（1+）=3-≥2．
∴當k=1時，，
∴Lmin=2，所以圓被直線截得最短的弦長為2．
點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過定點A（1，0）．
（Ⅰ）若l1與圓相切，求l1的方程；
（Ⅱ）若l1與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，求證：AM•AN為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，
（Ⅰ）若直線l1過定點A（1，0），且與圓C相切，求l1的方程；
（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x+y-2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，
（1）直線l1過定點A （1，0）．若l1與圓C相切，求l1的方程；
（2）直線l2過B（2，3）與圓C相交于P，Q兩點，求線段PQ的中點M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，
（Ⅰ）若a=y-x，求a的最大值和最小值；
（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線L：x+y-2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x+3）2+（y-4）2=4．
（1）若直線l1過點A（-1，0），且與圓C相切，求直線l1的方程；
（2）若圓D的半徑為4，圓心D在直線l2：2x+y-2=0上，且與圓C內切，求圓D的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案