Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（1）直線l₁過定點(diǎn)A （1，0）．若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）直線l₂過B（2，3）與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）通過切線的斜率垂直與不存在分別推出直線方程，利用圓心到直線的距離公式等于半徑即可求解l₁的方程；
（2）設(shè)出線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用圓的圓心與弦垂直，通過斜率乘積為-1，即可求出M的軌跡方程．

解答：解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，則直線方程為x=1，符合題意；
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得 k=

3

4

．
所求直線l₁的方程為x=1或3x-4y-3=0．
（2）設(shè)M（x，y）由題意可知MC⊥MB，
因?yàn)镃（3，4），B（2，3）
∴

y-4

x-3

•

y-3

x-2

=-1
整理得（x-

5

2

）²+（y-

7

2

）²=

1

2

，
線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程：（x-

5

2

）²+（y-

7

2

）²=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相切的直線方程的求法，注意斜率是否存在，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．